六方最密構造（単位格子に含む原子数・配位数・高さ・充填率の求め方など）

六方最密構造とは

• 次のような構造を六方最密構造という。

• 上下の層は、1個の原子の周りを6個の原子が取り囲む形になっている。

• 真ん中の層は、上下の層の「隙間」を埋めるような形で配置されている。

六方最密構造の単位格子に含まれる原子の数

• もう一度、六方最密構造の図を確認する。

• 六方最密構造はこの構造で間違いないが、六方最密構造の「単位格子（最小単位）」はこの構造の1/3である。

• したがって、六方最密構造の単位格子に含まれる原子の数を答えるときは、六方最密構造中の1/3に注目して考える必要がある。まず、六方最密構造を上から見た図を確認する。

• 六方最密構造を上から見ると「正六角形」であり、したがって、1つの角度は120°である。

• 先ほどから述べているように、六方最密構造の単位格子は六角柱の1/3の部分のため、上からの図で考えると…

• このようになる。平行四辺形の4つの角のうち、2つの角が120°を半分にした60°になっていることに注意しよう。ここで、もう一度全体の図を見る。

• 角度が120°の割球(1/6の割球)と60°の割球(1/12の割球)は4個ずつ存在しているのがわかる。（上の面に2個ずつ、下の面に2個ずつ）
• これらの割球と、サイドに存在している「合わせて1個」の割球を考慮すると、六方最密構造の単位格子に含まれる原子の数は2個となる。

\[
\frac{ 1 }{ 12 }×4+\frac{ 1 }{ 6 }×4+1=2
\]

六方最密構造の高さの求め方と原子半径

• 六方最密構造の高さの求め方と原子半径について解説する。

STEP

高さを測る場所を確認する。

六方最密構造の高さとして、次の赤矢印の部分を測定する。

この長さを一気に測るのは大変なので「半分の長さを測って2倍する」という方針でいく。

STEP

六方最密構造から高さを求めるために必要な部分を取り出し、形を確認する。

次に、六方最密構造から高さを求めるために必要な部分を取り出し、形を確認する。

STEP

正四面体の頂点から垂線を降ろす。

それぞれの原子にA〜Dの記号をふる。また、垂線を降ろした先は点Hとする。

STEP

DとBCの中点Mの距離を求める。

\[
\begin{align}&(2r)^{2}=(\mathrm{DM})^{2}+r^{2}\\
&\Leftrightarrow \mathrm{DM}=\sqrt{ 3 }r\end{align}
\]

CDの長さは2r、MCの長さはr（rは原子半径）のため、三平方の定理よりDとBCの中点Mの距離は√3rとなる。

STEP

DHの長さを求める。

正四面体の垂線の足であるHはこの立方体の“重心”である。

したがって、HはDMを2:1に内分する点のため（この辺は数学の知識）先ほどSTEP4で求めたDMの長さの2/3がDHの長さとなる。

DM=√3rで、HはDMを2:1に内分する点のため…

\[
\begin{align}
\mathrm{DH} &=\sqrt{ 3 }r×\frac{ 2 }{ 2+1 }\\
&=\frac{ 2\sqrt{ 3 }r }{ 3 }
\end{align}
\]

STEP

AHの長さを求める。また、それを二倍して六方最密構造全体の高さを求める。

STEP5で求めたDHの長さを使って、AHの長さを求める。

\[
\begin{align}&(2r)^{2}=(\mathrm{AH})^{2}+(\frac{ 2\sqrt{ 3 }r }{ 3 })^{2}\\
&\Leftrightarrow \mathrm{AH}=\frac{ 2\sqrt{ 6 }r }{ 3 }\end{align}
\]

AHの長さの2倍が六方最密構造全体の高さのため、この値を2倍する。

\[
\begin{align}
六方最密構造の高さ&=\underbrace{ \frac{ 2\sqrt{ 6 }r }{ 3 } }_{ \mathrm{AH}の長さ }×2\\
&=\frac{ 4\sqrt{ 6 }r }{ 3 }
\end{align}
\]

六方最密構造の密度

• 六方最密構造の密度は『g/cm³』という単位で表される。
• この単位のうち、分子のgは六方最密構造に含まれる原子の重さを、分母のcm³は六方最密構造全体の体積を示している。
• したがって、アボガドロ定数をN(個/mol)、六方最密構造に含まれる原子の原子量をM(g/mol)とすると、六方最密構造の密度は次のように表すことができる。

\[
密度(\mathrm{g/cm^{3}})=\frac{ \frac{ M(\mathrm{g/mol}) }{ N(\mathrm{個/mol}) }×原子の数(個) }{ 24\sqrt{ 2 }r^{3}(\mathrm{cm^{3}}) }
\]

• ちなみに分子の部分は、原子量M(g/mol)をアボガドロ定数N(個/mol)で割ることで（molとmolが約分されて）「g/個」を出し、それに「原子の数(個)」をかけることで「g」を導き出している。

• あとはこの式に、アボガドロ定数である6.0×10²³(個/mol)、六方最密構造に含まれる原子の数である6(個)、問題文で与えられている分子量(g/mol)、六方最密構造の体積（rには実際の値を入れる）を代入すれば、六方最密構造の密度を求めることができる。